همه‌چیز درباره نوار موبیوس و معمایی كه پس از ۵۰ سال حل شد

تبلیغاتتبلیغاتتبلیغاتساخت نوار موبیوس فوق‌العاده ساده است؛ اما ۵۰ سال طول كشید تا ریاضیدانی توانست معمای این اشكال ریاضی زیبا و شگفت‌انگیز را حل كند.تبلیغاتهمین‌حالا اگر یك نوار كاغذی مستطیلی‌شكل بردارید، آن را ۱۸۰ درجه بپیچانید و بعد انتهایش را به هم بچسبانید تا یك حلقه ایجاد شود، یك نوار موبیوس (Möbius) ساخته‌اید .

به همین سادگی! البته فریب سادگی ساختن نوار موبیوس را نخورید؛ چراكه ویژگی‌های این نوار به‌قدری پیچیده است كه سال‌ها است ذهن ریاضیدانان را به‌ خود درگیر كرده. اما حالا، پس از ۵۰ سال، ریاضیدان ۵۷ ساله‌‌ی آمریكایی به نام ریچارد ایوان شوارتز (Richard Evan Schwartz) از دانشگاه بروان سرانجام موفق شد معمای نوار موبیوس را حل كند .

پیش از آنكه به خود معما بپردازیم، خوب است درباره‌ی ویژگی‌های نوار موبیوس و اینكه چرا برای ریاضیدانان اینقدر جذاب و شگفت‌انگیز است،‌ بدانید. مهم‌ترین ویژگی نوار موبیوس این است كه فقط یك رو و یك لبه دارد؛ یعنی اگر با مداد خطی در طول نوار بكشید و ‌تا انتها ادامه دهید، این خط دوباره به نقطه‌ی شروع باز می‌گردد، درحالی‌كه به‌نظر می‌رسد دو طرف نوار خط كشیده شده است .

یا اگر سعی كنید «دو طرف» نوار را با دو رنگ مختلف رنگ كنید، هرگز موفق نخواهید شد؛ چون درنهایت می‌بینید كه هر «دو طرف» نوار به همان رنگ اول آمیخته شده است. نوار موبیوس به‌خاطر یك رویه بودن شبیه گربه‌ی شرودینگر دنیای فیزیك كوانتوم به نظر می‌رسد؛ همان گربه‌ی معروف درون جعبه كه چون از وضعیتش خبر نداریم، هم مرده‌ است و هم زنده .

خاصیت موبیوسی هم می‌گوید هر نقطه‌ روی سطح موبیوس هم «درون» است و هم «بیرون». همین خاصیت متناقض است كه نوار موبیوس را به یكی از شگفتی‌های دنیای ریاضی تبدیل كرده است.یك رو بودن نوار موبیوس به آن خاصیت «جهت‌ناپذیری» (Nonorientability) بخشیده است؛ به‌این‌معنی كه ریاضیدانان نمی‌توانند مختصاتی مثل بالا و پایین یا چپ و راست را به آن اختصاص دهند .

جهت‌ناپذیری نوار موبیوس نتایج جالبی در پی دارد، به‌این شكل كه حركت در امتداد آن جهت‌ها را وارونه می‌كند. برای فهم آسان‌تر جهت‌ناپذیری نوار موبیوس، بیایید سناریوی «كرم‌چاله‌ی جهت‌ناپذیر» را در نظر بگیریم كه ساختاری شبیه به این نوار دارد .

اگر فضانوردی با موشك در امتداد این كرم‌چاله عبور كند، با هر بار رسیدن به «پیچ»، وارونه می‌شود؛ مثلا قلبش در سمت راست خواهد بود یا اگر پیش از سفر پای راستش را از دست داده بوده، حالا پای چپش را از دست داده است .

مثل این است كه در فتوشاپ، از گزینه‌ی Flip روی تصویر استفاده كنیم. ویژگی شگفت‌انگیز دیگر نوار موبیوس این است كه فقط یك مرز (لبه) دارد؛ به‌این‌معنی كه با یك بار حركت در امتداد لبه‌های نوار، تمام مرز آن را می توانیم طی كنیم .

خاصیت جالب دیگر اینكه اگر نوار از دقیقا از وسط با قیچی ببریم، به‌جای داشتن دو حلقه‌ی یكسان و مجزا، یك نوار غیرموبیوسی دورویه با طول بیشتر خواهیم داشت. اگر هم از یك‌سوم نوار شروع به بریدن كنیم، در انتها دو حلقه‌ی در هم فرورفته خواهیم داشت كه یكی از آن‌ها، نوار موبیوسی یك‌رویه و دیگری یك نوار دورویه با طول دوبرابر خواهد بود .

نوار موبیوس توسط دو ریاضیدان آلمانی به نام‌های آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) و یوهان بندیكت لیستینگ (Johann Benedict Listing) به‌طور مستقل در سال ۱۸۵۸ كشف شد، اما چون آگوست موبیوس چند ماه زودتر مقاله‌اش را چاپ كرد، این نوار به افتخار او نام‌گذاری شد؛ هرچند برخی شواهد نشان می‌دهد كارل فریدریش گاوس (Carl Friedrich Gauss) كه به «ریاضی‌دان اول» و «بزرگترین ریاضی‌دان پس از عهد عتیق» شهرت دارد و لیستینگ هم در محضر او تربیت شده بود، از وجود این اشكال آگاه بوده است .

اینكه چه كسی برای اولین بار به این نوارها فكر كرد، به‌كنار؛ تا همین چند وقت پیش ریاضیدانان از حل مسئله‌‌ای به‌ظاهر ساده درباره‌ی نوارهای موبیوس عاجز بودند؛ اینكه كوتاه‌ترین نوار كاغذی برای ساختن نوار موبیوسی كه خودش را قطع نكند، چقدر است؟در سال ۱۹۷۷، دو ریاضی‌دان به‌نام‌های چارلز سیدنی ویور (Charles Sidney Weaver) و بنجامین ریگلر هالپرن (Benjamin Rigler Halpern) معمای حداقل اندازه‌ی نوار موبیوس را مطرح كردند و همان موقع به این نكته اشاره كردند كه اگر نوار موبیوسی كه می‌سازید، خودش را قطع كند، حل این مسئله آسان می‌شود؛ اما مشكل زمانی شروع می‌شود كه بخواهیم كوتاه‌ترین اندازه‌ی نوار را در شرایطی كه خودش را قطع نكند، تعیین كنیم .

هالپرن و ویور برای حداقل اندازه‌ی نوار موبیوس مقداری را پیشنهاد دادند، اما نتوانستند این ایده را كه «حدس هالپرن-ویور» نامیده می‌شود، اثبات كنند.ریچارد شوارتز، كسی كه معمای نوار موبیوس را حل كرد و به‌خاطر خدمات ارزنده‌اش به نظریه‌ی گروه هندسی شناخته شده است، برای اولین بار حدود چهار سال پیش از این معما مطلع شد .

یكی از روزها، ریاضی‌دانی به‌نام سرگئی تاباچنیكوف (Sergei Tabachnikov) از دانشگاه پنسیلوانیا مسئله‌ی نوار موبیوس را برای او شرح داد و شوارتز فصلی در این زمینه در كتابی كه تاباچنیكوف و دمیتری فوكس (Dmitry Fuchs) از دانشگاه كالیفرنیا نوشته بودند، خواند .

ذهن او پس از خواندن این فصل از كتاب به‌شدت درگیر نوار موبیوس شد تا اینكه چند وقت پیش توانست این معمای ۵۰ ساله را بالاخره حل كند.شوارتز در مقاله‌‌ی منتشر شده در arXiv.org در ۲۴ آگوست ۲۰۲۳، حدس هالپرن-ویور را اثبات كرد .

او نشان داد كه نوارهای موبیوس را فقط می‌توان با نسبت ابعاد بیشتر از رادیكال سه، یعنی حدود ۱٫۷۳ ساخت. برای مثال، اگر پهنای نوار كاغذی كه می‌خواهید با آن نوار موبیوس بسازید، یك سانتی‌متر باشد، طول آن باید بیشتر از رادیكال‌ سه سانتی‌متر باشد .

حل این معمای ۵۰ ساله به خلاقیت ریاضی نیاز داشت. فوكس می‌گوید:اما شوارتز چطور به این راه‌حل رسید و اصلا این راه‌حل چه بود؟ خلاقیت او در این بود كه توانست مسئله‌ را به قطعات كوچك‌تر تقسیم كند. برای حل هر یك از قطعات هم فقط كافی بود از اصول اولیه‌ی هندسه كمك گرفت .

البته همه‌چیز به همین سادگی نبود. شوارتز پیش از رسیدن به راه‌حل، چند سال روش‌های متفاوت را امتحان كرد، اما به جواب نرسید. تا اینكه اخیرا تصمیم گرفت دوباره برای حل این معما تلاش كند، چون حسی به او می‌گفت روشی كه در مقاله‌ی ۲۰۲۱ خود به كار برده بود، باید جواب می‌داد .

یك‌جورایی حسش درست بود. وقتی حل مسئله را در مقاله‌ی قبلی‌اش دوباره بررسی كرد، متوجه اشتباهی در برهان كمكی یا به‌اصطلاح لم مربوط به «الگوی T» شد. فقط كافی بود این اشتباه را اصلاح كند تا حدس هالپرن-ویور به‌سرعت اثبات شود .

اگر به‌خاطر این اشتباه نبود، این مسئله باید سه سال پیش حل می‌شد!‌در راه‌حل شوارتز، لم الگوی T اهمیت بسیار زیادی دارد. این لم با ایده‌ی ساده‌ی زیر شروع می‌شود:نوارهای موبیوس و كلا هر شی كاغذی، روی سطح خود خطوط مستقیم دارند كه سطوح حاكم نامیده می‌شوند .

هرگاه كاغذی در فضا باشد، حتی اگر حسابی در هم پیچ‌خورده باشد، باز هم در هر نقطه از این كاغذ، خط مستقیمی از آن عبور می‌كند. می‌توانید در ذهن خود این خطوط مستقیم را روی نوار موبیوس ترسیم كنید، طوری‌كه در دو انتها به لبه‌ی نوار می‌رسند .

شوارتز در بررسی‌های اولیه‌اش دو خط مستقیمی را پیدا كرد كه عمود بر یكدیگر و همچنین در یك صفحه هستند و روی هر نوار موبیوس یك الگوی T را تشكیل می‌دهند. به‌گفته‌ی شوارتز، «اصلا واضح نیست كه این خطوط وجود دارند .

» درواقع، نشان دادن اینكه این خطوط وجود دارند، اولین بخش از اثبات این لم بود.در مرحله‌ی بعدی، شوارتز باید یك مسئله‌ی بهینه‌سازی را مطرح و حل می‌كرد كه شامل بریدن نوار موبیوس در زاویه‌ای در امتداد خط (به‌جای عمود بر مرز) می‌شد كه در عرض نوار كشیده شده است .

حالا شوارتز باید شكل حاصل را نتیجه‌گیری می‌كرد. او در مقاله‌ی ۲۰۲۱ به‌اشتباه به این نتیجه رسید كه این شكل، متوازی‌الاضلاع است، درحالی‌كه ذوزنقه بود.وقتی این حس شوارتز را قلقلك داد كه جایی در این مقاله راه را اشتباه رفته است، تصمیم گرفت روش دیگری را امتحان كند .

او با خود فكر كرد: «شاید اگر بتوانم نشان دهم كه می‌توان نوارهای موبیوس را صاف و مسطح كرد، می‌توانم آن را به مسئله‌ی ساده‌تری تبدیل كنم تا بدین‌ترتیب فقط به اشیای مسطح فكر كنم.»در جریان همین آزمایش‌ها، شوارتز یكی از نوارها را برید و در كمال شگفتی متوجه شد كه شكلی كه تا مدت‌ها فكر می‌كرده متوازی الاضلاع است، ذوزنقه بوده است .

شواترز وقتی متوجه اشتباهش شد، ابتدا از دست خودش آزرده شد، چون به‌گفته‌ی خودش، از اشتباه كردن متنفر است؛ اما بعد مصمم شد از اطلاعات جدیدی كه به‌دست آورده، در محاسبات قبلی‌اش استفاده كند.تاباچنیكوف درباره‌ی حل مسئله‌ی نوار روبیوس می‌گوید:كشف نوار موبیوس از پایه‌های اصلی شكل‌گیری رشته‌ی توپولوژی در ریاضیات بود و اصلا این یوهان بندیكت لیستینگ بود كه نام توپولوژی را برای بررسی خواص هندسی اشیا و جای‌گیری آن‌ها در فضا ابداع كرد .

در دنیای توپولوژی، با عبارت طنزآمیزی توپولوژیست‌ها را توصیف می‌كنند؛ می‌گویند توپولوژیست كسی است كه فرقی میان لیوان قهوه و دونات نمی‌بیند! چون اگر یك لیوان قهوه را بردارید، داخلش را پر كنید و دسته‌ را كمی به‌سمت بیرون بكشید، درنهایت به شكل یك دونات گرد می‌رسید .

اما همین جمله‌ی طنزآمیز را می‌توان به‌سبك خود توپولوژیست‌ها جور دیگری دید و بیان كرد؛ اینكه توپولوژیست كسی است كه می‌تواند با نگاه كردن به لیوان قهوه، شكل یك دونات را در آن ببیند. معمای ۵۰ ساله‌ی نوار موبیوس هم تقریبا به همین شكل حل شد .